Фролов О.В.

Соотнесение поверхностей к линиям кривизны относительно проектирования оболочек

     Одной из проблем прикладной геометрии является проблема аналитического и компьютерного моделирования поверхностей при условии их отнесения к линиям кривизны. Именно на такую специальную параметризацию ориентированы методы расчета на прочность или устойчивость оболочек.

    Трудности, которые возникают при преобразовании криволинейных координат на поверхности с обычными свойствами линий кривизны, состоящие в совмещении сетки линий кривизны с координатной сеткой, привлекли внимание к классам поверхностей, одно или оба семейства линий кривизны которых обладают особыми свойствами. Как правило, задачу отнесения поверхностей этих классов решают не путем преобразования произвольной параметризации в специальную, а путем составления уравнений поверхностей на основе использования особых свойств линий кривизны. В работе рассмотрено отнесение к линиям кривизны следующих классов поверхностей: поверхностей Иоахимсталя, резных поверхностей Монжа, каналовых, трубчатых поверхностей, торсов.

     Основные задачи, решаемые в работе:

  • осуществлено отнесение к линиям кривизны класса поверхностей Иоахимсталя, полученным выделением их из конгруэнции траекторий, ортогональных к семейству сфер с центрами на одной прямой;
  • разработаны средства управления формой и обеспечения вариативности решений за счет применения различных способов задания семейства сфер с центрами на прямой и способов аналитического определения соответствующих конгруэнций ортогональных траекторий, способов выделения поверхностей Иоахимсталя из конгруэнции;
  • применены аналитические модели отнесения к линиям кривизны поверхностей Иоахимсталя к представителям этого класса: каналовым поверхностям и циклидам Дюпена;
  • осуществлено отнесение к линиям кривизны в системе сопровождающего трехгранника Френе направляющей линии: каналовой поверхности, как огибающей семейства сфер с центрами на направляющей линии; каналовой поверхности с образующей окружностью, центр которой принадлежит касательной к направляющей линии, а её плоскость перпендикулярна касательной; резной поверхности Монжа; трубчатой поверхности, торсовой поверхности;
  • обозначены пути применения современных средств компьютерной графики для визуализации поверхностей, полученных в результате исследований;
  • разработаны рекомендации по внедрению результатов исследований в инженерную практику и передать их для внедрения в организацию, проектирующую оболочки.

     Научная новизна исследований. В работе впервые:

  • получили развитие способы задания семейства сфер с центрами на прямой и определения траекторий, ортогональных к сферам заданного семейства;
  • применительно к расчету оболочек вариационно-разностным методом разработаны новые способы отнесения к линиям кривизны классов поверхностей, линии кривизны которых обладают специальными свойствами, на основе их выделения из конгруэнций ортогональных траекторий, которые дают возможности предъявления дополнительных требований к поверхностям этих классов при проектировании оболочек, в частности, назначить края и отверстия с учетом удобства представления граничных условий;
  • на основе аналитических моделей, полученных в работе, впервые составлена полная классификация циклид Дюпена, которая сопровождается графическими изображениями;
  • на основе параметрических уравнений поверхностей, отнесенных к линиям кривизны впервые полученных в работе, найдены выражения локальных геометрических характеристик этих поверхностей, которые входят в уравнения равновесия, соотношения упругости, в уравнения перемещений и деформаций расчета оболочек.

Пример конструирования поверхности оболочки, отнесенной к линиям кривизны.